de moivre公式是什么？棣美弗定理De Moivre’s theorem

复数的棣美弗定理De Moivre’s theorem

对于任何整数 n, 棣美弗定理表明有如下恒等式：

= cos (nθ) + i sin (nθ)

这个公式利用欧拉公式很容易证明

我们知道根据欧拉公式：

下面利用这个公式求1的n次根。

如果任何复数z满足 = 1, 那么Z是1的n次根.

代数的基本定理表明一个n次方程会有n个根。因此 = 1会有n个根。.

为了求得根Z, 我们可以写成,

1 = cos (2kπ) + i sin (2kπ), （k是整数）—————————(1)

我们有,

= 1

z =

从 (1)式有, = 1 = cos (2kπ) + i sin (2kπ), 推出：

根据棣美弗定理：

这里k = 0, 1, 2, 3,……..,n−1

例如：如果n =3, 那么k = 0, 1, 2

我们知道

当k=1时，令z=ω：

这样可以得到1的n次根：

当k = 0; z = 1

k = 1; z = ω

k = 2; z = （利用棣美弗定理)

k = n-1, z = （利用棣美弗定理)

这样1的n次根分别是1,ω,,,…….,， 可以看出这是个等比数列,

1的n个根的和是：

将下列式子做n次方：

则有：= 1, 因此

1 + ω + ω2 + ω3 + ⋯ + ωn-1 = 0

利用上面的推导可求1的立方根:

这样1的n次根分别是1,ω,,,…….,， 可得三个根1,,ω,,

其中,ω,,：

1的三个立方根在单位圆上的分布如图：

可以验算：

例子：如果a和b是方程 + x + 1 = 0的根， 求 +

很容易求得方程的根：

a 和b 的值分别等于ω ，ω2 ，那么1+ω+=0, =1, 因此可求出：